Area e perimetro del trapezio
L’area di un trapezio con basi B e b e altezza h è A = (B + b) · h / 2; il perimetro è P = B + b + c + d, dove c e d sono i lati obliqui. Inserisci basi, altezza e lati obliqui e scegli l’unità di misura: il calcolatore mostra area e perimetro. Esempio: con B = 80 mm, b = 50 mm e h = 40 mm l’area è 2600 mm²; con lati obliqui di 40 e 50 mm il perimetro è 220 mm.
Calcolatore
| Unità | |
| Base maggiore B | |
| Base minore b | |
| Altezza h | |
| Lato obliquo c | |
| Lato obliquo d |
| Area (A = (B+b)·h/2) | 0 mm² |
| Perimetro | 0 mm |
Definizione
Un trapezio è un quadrilatero con almeno una coppia di lati opposti paralleli, chiamati basi: la base maggiore (B, più lunga) e la base minore (b, più corta). Gli altri due lati, in generale non paralleli, sono detti lati obliqui (c e d).
L’altezza (h) è la distanza perpendicolare tra le due basi parallele. Il parallelogramma, e quindi anche il rettangolo, è un trapezio con B = b (basi uguali); il triangolo si ottiene come caso limite con b = 0, quando la base minore si riduce a un punto.
Formula dell’area
L’area del trapezio si calcola come la media delle due basi moltiplicata per l’altezza:
La formula si può dimostrare in diversi modi. Uno dei più intuitivi: prendendo due copie identiche del trapezio e ruotandone una di 180°, le due figure si incastrano formando un parallelogramma con base (B + b) e altezza h:
La formula generalizza sia il rettangolo (con B = b diventa A = B · h) sia il triangolo (con b = 0 diventa A = B · h / 2).
Formula del perimetro
Il perimetro è la somma dei quattro lati:
A differenza dell’area, il perimetro richiede di conoscere anche i due lati obliqui (c e d): conoscendo solo basi e altezza, infiniti trapezi diversi hanno la stessa area ma perimetri differenti, lo stesso fenomeno visto per il triangolo con solo base e altezza.
I lati obliqui non sono però liberi: se la base minore è spostata di un tratto p rispetto all’estremo della base maggiore (p può anche essere negativo), valgono:
Per questo lo strumento mostra un avviso quando i lati obliqui inseriti non sono compatibili con basi e altezza: in quel caso il perimetro è soltanto la somma dei quattro valori inseriti.
Trapezio isoscele e trapezio rettangolo
Esistono due casi particolari notevoli:
Trapezio isoscele: i due lati obliqui sono uguali (c = d). Il trapezio è simmetrico rispetto alla perpendicolare alle basi che passa per i loro punti medi e gli angoli alla base sono uguali a due a due. In questo caso p = (B − b) / 2 e:
Trapezio rettangolo: uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi e coincide quindi con l’altezza. Se c è il lato perpendicolare, vale c = h e il lato obliquo rimanente d si ricava dal teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo formato dalla differenza delle basi e dall’altezza:
Esempio pratico
Dati: B = 80 mm, b = 50 mm, h = 40 mm
Area: A = (80 + 50) / 2 × 40 = 65 × 40 = 2600 mm²
Trapezio rettangolo: c = h = 40 mm, d = √(40² + 30²) = 50 mm
Perimetro: P = 80 + 50 + 40 + 50 = 220 mm
Trapezio isoscele: c = d = √(40² + 15²) = √1825 ≈ 42,72 mm
Perimetro: P = 80 + 50 + 2 × 42,72 ≈ 215,44 mm
L’area è la stessa nei due casi: dipende solo da B, b e h. I lati obliqui c e d cambiano la forma del trapezio (quanto sono inclinati i lati) e il perimetro, ma non l’area, che resta determinata dalla distanza tra le basi parallele e dalla loro lunghezza media.
Applicazioni
Il trapezio è una figura geometrica con numerose applicazioni pratiche:
Ingegneria civile e idraulica: le sezioni trapezoidali sono molto comuni nei canali di scolo, negli argini e nelle dighe in terra, perché offrono buona stabilità con un uso efficiente del materiale.
Architettura: tetti, finestre ed elementi decorativi trapezoidali, oltre al calcolo della superficie di terreni non rettangolari approssimabili a trapezi.
Analisi numerica: la regola del trapezio è uno dei metodi più semplici e diffusi per approssimare un integrale definito, suddividendo l’area sotto una curva in una serie di piccoli trapezi.
Topografia: il calcolo dell’area di terreni irregolari si basa spesso sulla scomposizione in trapezi a partire da misure di base e altezze parziali.