Area e perimetro del triangolo

Definizione

Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli interni, la cui somma è sempre 180°. È la figura geometrica più semplice (il minimo numero di lati che racchiude una superficie) e ogni poligono più complesso può essere scomposto in triangoli: un principio alla base della triangolazione, usata in computer grafica, cartografia e ingegneria strutturale.

Un triangolo è determinato da tre dati opportuni tra lati e angoli (ad esempio tre lati, oppure due lati e l’angolo compreso). Questo strumento calcola area e perimetro a partire da due insiemi di dati: base e altezza, oppure i tre lati.

Modalità 1: base e altezza

Se si conoscono la base (b) e l’altezza relativa (h, la distanza perpendicolare dal vertice opposto alla base), l’area si calcola con la formula più semplice della geometria:

Questa formula deriva dal fatto che ogni triangolo è esattamente metà di un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza: prendendo un triangolo e una sua copia ruotata di 180°, le due figure si incastrano perfettamente formando un parallelogramma di area b × h.

Importante: conoscendo solo base e altezza, il perimetro non è determinabile. Fissata la base, il vertice opposto può trovarsi in infinite posizioni diverse mantenendo la stessa distanza perpendicolare dalla base (la stessa altezza): ognuna di queste posizioni dà origine a un triangolo con la stessa area ma con lati obliqui, e quindi perimetro, diversi. Per calcolare il perimetro servono informazioni aggiuntive, come la posizione del piede dell’altezza sulla base o la lunghezza dei due lati obliqui.

Modalità 2: tre lati (formula di Erone)

Se si conoscono i tre lati (a, b, c), l’area si calcola con la formula di Erone, che non richiede di conoscere alcun angolo né l’altezza:

dove s è il semiperimetro:

Questa formula, attribuita al matematico greco Erone di Alessandria (I secolo d.C.), è notevole perché esprime l’area usando soltanto le lunghezze dei lati. Una dimostrazione classica parte dal teorema del coseno per ricavare l’altezza in funzione dei tre lati e la sostituisce nella formula A = b · h / 2, ottenendo dopo alcune semplificazioni algebriche l’espressione di Erone.

In questa modalità il perimetro è semplicemente la somma dei tre lati:

Disuguaglianza triangolare

Tre lunghezze qualsiasi non sempre possono formare un triangolo: deve valere la disuguaglianza triangolare, secondo cui ogni lato deve essere strettamente minore della somma degli altri due:

Intuitivamente, se un lato fosse maggiore o uguale alla somma degli altri due, questi non sarebbero abbastanza lunghi da ricongiungersi e chiudere la figura. Nel caso limite di uguaglianza (ad esempio a = b + c) il “triangolo” degenera in un segmento con area zero. Questo strumento verifica automaticamente la condizione quando si inseriscono i tre lati e segnala un errore se non è soddisfatta.

Esempio pratico

Questo è il celebre triangolo 3-4-5 (qui in scala 10), un triangolo rettangolo notevole: infatti 30² + 40² = 50² (900 + 1600 = 2500), per il teorema di Pitagora. Le due modalità danno la stessa area perché la formula di Erone e quella di base per altezza diviso due sono sempre coerenti per uno stesso triangolo.

Applicazioni

Il calcolo dell’area del triangolo è uno strumento matematico fondamentale, con applicazioni molto diffuse:

Topografia e cartografia: la triangolazione (calcolo di distanze e posizioni tramite triangoli) è la base storica della misurazione del territorio.

Ingegneria strutturale: le strutture triangolari (capriate, tralicci) sono geometricamente rigide e non deformabili, motivo per cui sono molto usate in ponti, tetti e torri.

Computer grafica: ogni superficie 3D in videogiochi e animazioni è scomposta (tassellata) in una mesh di triangoli, la primitiva geometrica più semplice da elaborare per le GPU.

Navigazione e GPS: la trilaterazione, affine alla triangolazione, usa le distanze da punti noti (i satelliti) per determinare una posizione.