Area e perimetro del pentagono regolare
L’area di un pentagono regolare di lato L è A = 5L² / (4 · tan 36°) ≈ 1,7205 · L²; il perimetro è P = 5L. Inserisci il lato e scegli l’unità di misura: il calcolatore mostra perimetro, apotema, area e raggio circoscritto. Esempio: con L = 100 mm si ottengono P = 500 mm, apotema ≈ 68,82 mm, A ≈ 17.204,77 mm² e R ≈ 85,07 mm.
Calcolatore
| Unità | |
| Lato |
| Perimetro (P = 5·L) | 0 mm |
| Apotema | 0 mm |
| Area | 0 mm² |
| Raggio circoscritto | 0 mm |
Definizione
Un pentagono regolare è un poligono con cinque lati di uguale lunghezza e cinque angoli interni uguali, ciascuno di 108°. È completamente determinato da un solo parametro: la lunghezza del lato (L).
Come ogni poligono regolare, il pentagono può essere scomposto in 5 triangoli isosceli congruenti, tutti con un vertice nel centro della figura e base pari al lato L. Questa scomposizione è la chiave per ricavare tutte le formule del pentagono ed è un metodo generale, applicabile a qualsiasi poligono regolare con n lati.
Il pentagono regolare è storicamente legato alla sezione aurea (φ ≈ 1,618): il rapporto tra una diagonale e il lato è esattamente il numero d’oro, una proprietà che lo rende protagonista in arte, architettura e simbologia geometrica. Il pentagramma, la stella a cinque punte, si ottiene proprio tracciando le diagonali di un pentagono regolare.
Apotema e raggio circoscritto
Per un poligono regolare di n lati, l’apotema (distanza dal centro al punto medio di un lato) e il raggio circoscritto (distanza dal centro a un vertice) si ricavano dalla trigonometria del triangolo rettangolo che si ottiene dimezzando uno dei triangoli isosceli della scomposizione: ha un angolo π/n al centro, il cateto L/2 sul lato e l’apotema come altro cateto.
Per il pentagono n = 5: l’angolo al centro di ciascun triangolo è 360°/5 = 72° e la sua metà (36° = π/5 radianti) è quella usata nelle formule:
Formula del perimetro e dell’area
Avendo 5 lati uguali, il perimetro è immediato:
L’area, come per ogni poligono regolare, è il prodotto tra semiperimetro e apotema (la somma delle aree dei 5 triangoli isosceli che compongono la figura):
Sostituendo le espressioni trigonometriche si ottiene la formula diretta in funzione del solo lato:
La formula generale (semiperimetro per apotema) è utile perché si applica, con la sola sostituzione di n, a qualsiasi poligono regolare: triangolo equilatero, quadrato, pentagono, esagono e così via.
Esempio pratico
Dato: lato L = 100 mm
Perimetro: P = 5 × 100 = 500 mm
Apotema: a = 100 / (2 · tan 36°) ≈ 68,82 mm
Area: A = (500 × 68,82) / 2 ≈ 17.204,77 mm²
Raggio circoscritto: R = 100 / (2 · sin 36°) ≈ 85,07 mm
Applicazioni
Il pentagono regolare è meno comune dell’esagono nella tassellazione del piano: da solo non può ricoprirlo senza lasciare spazi vuoti, perché l’angolo interno di 108° non è un divisore di 360°. Compare comunque in numerose applicazioni:
Architettura e simbolismo: il Pentagono, sede del Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti vicino a Washington, gli edifici a pianta pentagonale e i simboli geometrici storici basati sulla sezione aurea.
Biologia e cristallografia: molti virus hanno un capside con simmetria icosaedrica, in cui i 12 vertici sono occupati da gruppi di cinque subunità proteiche; anche alcuni fiori e organismi marini, come le stelle marine, mostrano simmetria pentagonale.
Design e solidi: elementi decorativi, loghi e il dodecaedro, uno dei 5 solidi platonici, che ha tutte e 12 le facce pentagonali.
Sport: il classico pallone da calcio alterna 12 pentagoni e 20 esagoni su una superficie che approssima una sfera (un icosaedro troncato).