Area, perimetro e diametro del cerchio
L’area di un cerchio si calcola con A = π · r², dove r è il raggio; il perimetro (la circonferenza) è P = 2π · r e il diametro è D = 2r. Inserisci il raggio o il diametro e scegli l’unità di misura: il calcolatore mostra area, perimetro e diametro. Esempio: con r = 100 mm si ottengono A ≈ 31.415,93 mm², P ≈ 628,32 mm e D = 200 mm.
Calcolatore
| Unità | |
| Dato disponibile | |
| Valore |
| Area (A = π · r²) | 0 mm² |
| Perimetro (P = 2πr) | 0 mm |
| Diametro (D = 2r) | 0 mm |
Definizione
Un cerchio è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza costante tra il centro e un qualsiasi punto del cerchio è il raggio (r). Il diametro (D) è il segmento che passa per il centro e unisce due punti opposti del cerchio, e vale il doppio del raggio:
Il perimetro (o circonferenza) è la lunghezza del contorno del cerchio, mentre l’area è la misura della superficie racchiusa al suo interno.
Formule fondamentali
Le tre grandezze principali del cerchio si calcolano con queste formule:
dove:
Tutte le formule dipendono da una sola grandezza indipendente (il raggio, o equivalentemente il diametro): conoscendo una qualsiasi delle quattro grandezze è possibile ricavare tutte le altre.
Da dove viene π
La costante π (pi greco) è definita come il rapporto tra la circonferenza di un qualsiasi cerchio e il suo diametro:
Questo rapporto è costante per ogni cerchio, indipendentemente dalle sue dimensioni: un cerchio piccolo e uno enorme hanno esattamente lo stesso rapporto P/D. La proprietà fu osservata empiricamente già dalle civiltà antiche (Babilonesi ed Egizi), che usavano approssimazioni come 25/8 o (16/9)², ma fu Archimede di Siracusa (III secolo a.C.) il primo a calcolarne un’approssimazione rigorosa, inscrivendo e circoscrivendo al cerchio poligoni regolari con un numero crescente di lati.
π è un numero irrazionale (non esprimibile come frazione di due interi, dimostrato da Lambert nel 1761) e trascendente (non è radice di alcun polinomio a coefficienti razionali, dimostrato da Lindemann nel 1882). La sua espansione decimale è quindi infinita e non periodica:
Per i calcoli pratici di ingegneria è quasi sempre sufficiente usare π ≈ 3,14159; il calcolatore usa il valore di π della libreria matematica del browser (Math.PI, in doppia precisione).
Derivazione della formula dell’area
La formula A = πr² non è arbitraria: si può ricavare intuitivamente immaginando di suddividere il cerchio in tanti settori circolari molto stretti, simili a fette di torta, e di disporli alternati (uno verso l’alto, uno verso il basso) per formare una figura che assomiglia sempre più a un rettangolo quanto più i settori sono sottili.
Questo “rettangolo approssimato” ha come altezza il raggio (r) e come base metà della circonferenza (perché la circonferenza si divide equamente tra il lato superiore e quello inferiore):
L’area del rettangolo (e quindi, al limite, del cerchio) è il prodotto di base per altezza:
Lo stesso ragionamento, formalizzato con il calcolo integrale (integrando in coordinate polari l’elemento d’area su tutto il cerchio), conferma esattamente la formula:
Relazione tra le grandezze
Conoscendo una sola grandezza del cerchio è possibile ricavare tutte le altre. Ecco le relazioni più utili:
Dal raggio:
Dal diametro:
Dal perimetro (circonferenza):
Dall’area:
Questo strumento permette di partire indifferentemente dal raggio o dal diametro: gli altri valori vengono calcolati di conseguenza.
Esempio pratico
Dato: raggio r = 100 mm
Diametro: D = 2 × 100 = 200 mm
Perimetro: P = 2π × 100 ≈ 628,32 mm
Area: A = π × 100² ≈ 31.415,93 mm²
Lo stesso cerchio misurato in centimetri (r = 10 cm) dà D = 20 cm, P ≈ 62,83 cm e A ≈ 314,16 cm². Il punto da ricordare: l’area scala con il quadrato del fattore di conversione tra unità (10² = 100), mentre perimetro e diametro scalano linearmente (× 10).
Applicazioni
Il calcolo dell’area e del perimetro del cerchio è alla base di numerose applicazioni pratiche:
Ingegneria meccanica: dimensionamento di tubazioni, calcolo della portata di fluidi in condotti circolari, progettazione di ingranaggi e pulegge.
Edilizia e architettura: calcolo di superfici di colonne, cupole e finestre circolari e della quantità di materiale per pavimentazioni o coperture circolari.
Elettronica: sezione di cavi e conduttori, dove l’area della sezione circolare influisce sulla resistenza elettrica e sulla corrente massima ammissibile.
Vita quotidiana: calcolo della quantità di vernice o di materiale per una superficie circolare, dimensionamento di coperchi, ruote e oggetti circolari in generale.
Il cerchio è inoltre il punto di partenza per lo studio di figure più complesse come l’ellisse, il settore circolare, il segmento circolare e la corona circolare, costruite a partire dalle stesse formule fondamentali.