Area e perimetro dell’esagono regolare
L’area di un esagono regolare di lato L è A = (3√3 / 2) · L² ≈ 2,598 · L²; il perimetro è P = 6L. Inserisci il lato e scegli l’unità di misura: il calcolatore mostra perimetro, apotema, area e raggio circoscritto. Esempio: con L = 100 mm si ottengono P = 600 mm, apotema ≈ 86,60 mm, A ≈ 25.980,76 mm² e R = 100 mm.
Calcolatore
| Unità | |
| Lato |
| Perimetro (P = 6·L) | 0 mm |
| Apotema | 0 mm |
| Area | 0 mm² |
| Raggio circoscritto | 0 mm |
Definizione
Un esagono regolare è un poligono con sei lati di uguale lunghezza e sei angoli interni uguali, ciascuno di 120°. È completamente determinato da un solo parametro: la lunghezza del lato (L).
Una proprietà notevole dell’esagono regolare è che si scompone esattamente in 6 triangoli equilateri congruenti, ciascuno con lato L, tutti con un vertice nel centro della figura. Questa scomposizione è la chiave per ricavare tutte le formule dell’esagono.
L’esagono regolare è inoltre uno dei soli tre poligoni regolari (insieme al triangolo equilatero e al quadrato) che possono tassellare il piano da soli, senza lasciare spazi vuoti. Tra le suddivisioni del piano in celle della stessa area, quella esagonale ha il perimetro totale minimo (la congettura del favo, dimostrata da Thomas Hales nel 1999): è il motivo della struttura dei favi delle api.
Apotema e raggio circoscritto
L’apotema è la distanza dal centro dell’esagono al punto medio di un lato, cioè l’altezza di uno dei 6 triangoli equilateri. Poiché un triangolo equilatero di lato L ha altezza:
e questa altezza coincide con l’apotema dell’esagono:
Il raggio circoscritto (distanza dal centro a un vertice) è invece uguale al lato:
Ogni triangolo equilatero che compone l’esagono ha tutti e tre i lati uguali a L: il raggio, che è uno dei lati del triangolo uscenti dal centro, è quindi uguale al lato dell’esagono.
Formula del perimetro e dell’area
Avendo 6 lati uguali, il perimetro è immediato:
L’area si ricava dalla scomposizione in 6 triangoli equilateri. L’area di un singolo triangolo è metà del prodotto tra base (il lato L) e altezza (l’apotema):
Moltiplicando per i 6 triangoli che compongono l’esagono:
Una forma equivalente, valida per qualsiasi poligono regolare, è il prodotto tra semiperimetro e apotema:
che è la formula usata da questo strumento.
Esempio pratico
Dato: lato L = 100 mm
Perimetro: P = 6 × 100 = 600 mm
Apotema: a = (√3 / 2) × 100 ≈ 86,60 mm
Area: A = (600 × 86,60) / 2 ≈ 25.980,76 mm²
Raggio circoscritto: R = 100 mm (uguale al lato)
Applicazioni
L’esagono regolare è una delle forme geometriche più diffuse in natura e nell’ingegneria, grazie alla sua efficienza nel tassellare il piano:
Biologia: i favi delle api hanno celle esagonali: questa forma richiede la minima quantità di cera (perimetro) per racchiudere un dato volume di miele rispetto a qualsiasi altra suddivisione del piano in celle uguali.
Ingegneria e materiali: le strutture a nido d’ape (honeycomb) sono usate nei pannelli sandwich per l’aeronautica e per il packaging, e offrono buona resistenza strutturale con un peso ridotto.
Chimica e cristallografia: il grafene è un reticolo esagonale di atomi di carbonio e la grafite è formata da strati sovrapposti di grafene; molti minerali cristallizzano con simmetria esagonale.
Urbanistica e giochi: le griglie esagonali sono usate nelle mappe dei giochi strategici e in alcuni schemi di pavimentazione, perché ogni cella ha esattamente 6 celle adiacenti a distanza uguale, a differenza della griglia quadrata.