Area e perimetro dell’ellisse

Definizione

Un’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, è costante. È una generalizzazione del cerchio: mentre il cerchio ha un solo centro equidistante da tutti i punti, l’ellisse ha due fuochi e la forma risultante è “allungata”.

L’ellisse è caratterizzata da due assi perpendicolari: l’asse maggiore (il diametro più lungo) e l’asse minore (il diametro più corto). Le loro metà sono il semiasse maggiore (a) e il semiasse minore (b):

Quando a = b l’ellisse diventa un cerchio: il cerchio è quindi un caso particolare di ellisse, con i due fuochi coincidenti nel centro.

Formula dell’area

L’area dell’ellisse ha una formula semplice ed esatta:

È la generalizzazione naturale dell’area del cerchio (A = πr²): un cerchio è un’ellisse con a = b = r e, sostituendo, si ottiene esattamente πr² = πr · r.

Una dimostrazione intuitiva: l’ellisse si ottiene da un cerchio di raggio a “schiacciandolo” verticalmente di un fattore b/a. Questa trasformazione (un cambio di scala lineare) moltiplica tutte le aree per lo stesso fattore b/a:

Il problema del perimetro

A differenza dell’area, il perimetro dell’ellisse non ha una formula elementare esatta. Matematicamente è espresso da un integrale ellittico di seconda specie, che non si può scrivere usando solo operazioni elementari (addizione, radici, funzioni trigonometriche):

Questo integrale non ha una soluzione in forma chiusa elementare. Storicamente lo studio di questi integrali, nati proprio dal problema della lunghezza dell’ellisse, ha dato origine alle funzioni ellittiche di Jacobi e Weierstrass.

Per l’uso pratico si utilizzano quindi approssimazioni numeriche molto precise.

L’approssimazione di Ramanujan

Questo strumento usa l’approssimazione proposta dal matematico indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920), una delle più precise conosciute:

L’errore relativo è molto piccolo: al massimo circa 0,04%, raggiunto nel caso limite di un’ellisse schiacciata fino a diventare un segmento, ed è nullo per il cerchio. È più che sufficiente per qualsiasi applicazione pratica di ingegneria o design.

Verifica del caso limite: quando a = b si ha h = 0, quindi la formula si riduce a P = π(a + a)(1 + 0) = 2πa, esattamente la circonferenza del cerchio di raggio a.

Esempio pratico

Per confronto, un cerchio con raggio uguale al semiasse maggiore (r = 50 mm) ha perimetro 2π × 50 ≈ 314,16 mm: l’ellisse, essendo più “schiacciata”, ha un perimetro minore a parità di semiasse maggiore.

Applicazioni

L’ellisse è una delle curve più importanti in scienza e ingegneria:

Astronomia: secondo la prima legge di Keplero, le orbite dei pianeti attorno al Sole sono ellissi, con il Sole in uno dei due fuochi e non al centro.

Ottica e acustica: una superficie riflettente ellittica concentra le onde (luce, suono) emesse da un fuoco esattamente nell’altro fuoco: è il principio delle sale ellittiche in cui un sussurro da un fuoco si sente nell’altro e di alcuni apparecchi che concentrano onde d’urto, come i litotritori.

Ingegneria meccanica: le sezioni ellittiche sono usate in tubazioni, condotti e componenti strutturali, dove serve un compromesso tra resistenza e aerodinamica rispetto a una sezione circolare.

Design e architettura: piscine, tavoli, finestre e cupole ellittiche, dove la formula dell’area serve per calcolare i materiali necessari.